تحصيل (تركيب) الانعكاسات

تحصيل (تركيب) الانعكاسات

Reflections Composition
الدوران M(P,\theta ) يكافئ تحصيل انعكاسين حول أي مستقيمين K,L نقطة تقاطعهما P والزاوية بينهما نصف زاوية الدوران \theta. لإثبات هذا خذ نقطة اختيارية A من المستوي. افرض أن C هي صورة A بالدوران M(P,\theta ) وليكن K , L مستقيمين متقاطعين عند P والزاوية بينهما \theta /2.

علينا أن نبين الآن أو صورة B بالانعكاس R_L حول المستقيم L هي C. لاحظ أن

\hat P_2 + \hat P_3 = \frac{\theta }{2}
وبما أن زاوية الدوران بكاملها هي \theta فإن المتبقي هو نصفها , أي أن

\hat P_1 + \hat P_4 = \frac{\theta }{2}

وبما أن \hat P_1 = \hat P_2 وذلك لأن B صورة A بالتناظر حول K فإن

\hat P_3 = \hat P_4 \quad \quad (1)

كذلك بما أن \left| {PA} \right| = \left| {PB} \right| (لماذا؟) وبما أن \left| {PA} \right| = \left| {PC} \right| وذلك لأن C صورة A بالدوران فإن

\left| {PB} \right| = \left| {PC} \right|\quad \quad (2)

من (1) و (2) يتضح أن C صورة B بالتناظر (بالانعكاس) حول L . وحيث أن A كانت نقطة اختيارية فإن

M(P,\theta ) = R_L \circ R_K

يمكن صياغة ما سبق بطريقة أخرى فنقول تحصيل (تركيب) انعكاسين (تناظرين) حول مستقيمين متقاطعين في نقطة P هو دوران مركزه P وزاويته ضعف الزاوية بين المستقيمين.

إذاكان المستقيمين متوازيين فإن التحصيل في هذه الحالة عبارة عن انسحاب مقياسه ضعف المسافة بين المستقيمين. وعلى العكس فكل انسحاب يكافئ تحصيل لانعكاسين حول مستقيمين متوازيين ومتعامدين على المستقيم حامل الانسحاب والمسافة بينهما نصف مقياس الانسحاب.