قانون الجيوب

موضوع: قانون الجيوب الجمعة 02 مايو 2008, 5:51 am

قانون الجيوب

Sines Law

إذا كان لدينا مثلث رؤوسه A,B,C ويقابلها على الترتيب أضلاع أطوالها على الترتيب a,b,c فإن التناسب التالي يسمى قانون الجيوب sines law.

\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}}

البعض يحب التأكيد على العلاقة بين هذا القانون وبين الدائرة الخارجية في المثلث فيكتبه على الشكل

\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R

حيث R نصف قطر الدائرة . يمكن اثبات قانون الجيوب بعدة طرق لكننا نفضل الطريقة التي تبرز العلاقة بينه وبين R.

ارسم الدائرة المحيطة بالمثلث التي نصف قطرها R. نصل ما بين النقطتين A,B ومركز الدائرة M. المثلث AMB متطابق الضلعين وفيه زاوية الرأس تعادل ضعف الزاوية C لأنها مركزية تحصر نفس قوس الزاوية C. ارسم الإرتفاع MN والذي سينصف القاعدة AB .

الآن

\sin C = \sin \theta = \frac{{MN}}{R} = \frac{{\frac{c}{2}}}{R} = \frac{c}{{2R}}

إ ذا
\frac{c}{{\sin C}} = 2R

اختيارنا للزاوية C لم يكن لميزة معينة خاصة بها , ولذلك نجد نتيجة مماثلة على بقية الزوايا , اي أن النسبة ما بين الضلع وجيب الزاوية التي تقابله يساوي ضعف نصف القطر وبالتالي.

\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R

طرق اخرى للإثبات القانون: يمكن ذلك باستخدام قانون مساحة المثلث بدلالة ضلعين وجيب الزاوية بينهما . قم بتطبيقه ثلاث مرات واستخرج النسب التي توصل للمطلوب.

طريقة اخرى من خلال رسم ارتفاع في المثلث (مثلا من A) . جد جيب الزايتين B,C بدلالة الإرتفاع والطولين b,c واستخلص شق من التناسب المطلوب. ارسم ارتفاع آخر (مثلا من B) واستخلص تناسب آخر . قارن بينهما لتحصل على قانون الجيوب.