نظرية كيلي في الزمر

نظرية كيلي في الزمر

Cayley's Theorem

نظرية 1 (كيلي): أي زمرة (G, * ) تماثل زمرة جزئية من زمرة تباديل G.

سميت هذ النظرية باسم أول من اثبتها (كيلي) في العام 1878م .

الإثبات:

لتكن G زمرة ولتكن symG زمرة كل تبديلات G. لأي عنصر g من G عرف التبديلة\sigma _g علىG بالصيغة

\sigma _g (x) = g * x

أحادية \sigma _g واضحة لأن \sigma _g (x_1 ) = \sigma _g (x_2 ) يقتضي x_1 = x_2 . كذلك \sigma _g شاملة لأنه لكل y \in G يوجد عنصرx = g^{ - 1} y بحيث

\sigma _g (g^{ - 1} y) = g * (g^{ - 1} * y) = (g * g^{ - 1} ) * y = y

ندعي أن مجموعة التبديلات H = \{ \sigma _g :g \in G\} زمرة جزئية من symG وتماثل G. لإثبات هذا الإدعاء عرف \varphi من G إلى H بالقانون

\varphi (g) = \sigma _g

لدينا

\sigma _{a*b} (x) = x*(a*b) = (x*a)*b = (\sigma _a (x))*b = (\sigma _a (x))\sigma _b = (\sigma _a \circ \sigma _b )(x)

إذا \sigma _{a*b} = \sigma _a \circ \sigma _b وهذا يكافيء \varphi (a * b) = \varphi (a) \circ \varphi (a). إذا \varphi تشاكل (همومورفيزم) من G إلى H .

واضح ان \varphi شامل وذلك حسب بناء الزمرة H. أيضا \varphi أحادي لأن إذا كانت \sigma _a = \sigma _b فإن \sigma _a (x) = \sigma _b (x) لكل x من G. إذا ax = bx وبالتاليa = b.

إذا G تماثل isomorphic لزمرة التباديل H.

في حالة ما تكون G منتهية ورتبتها n فإن نظرية كيلي تؤكد أنه يوجد في زمرة التباديل (S_n , \circ) زمرة جزئية H بحيث G تماثل H. أو بمعنى آخر, أي زمرة منتهية من رتبة معينة n يوجد منها نسخة داخل زمرة التباديل (S_n , \circ ).

تمارين

1. أوجد زمرة التباديل التي تماثل الزمرة الدائرية G المكونة من p عنصر, حيث p عدد أولي.

المراجع

1.Topics in Algebra, I. N. Herstein, 2d Edition

2. Modern Algebra, an introduction, John R. Durbin

3. http://mathworld.wolfram.com/CayleysGroupTheorem.html