الرتبة في الزمرة

الرتبة في الزمرة

إذا كانت (G,*) زمرة فإن رتبة الزمرة هو عدد عناصرها \left| G \right|. عندما تكون G زمرة غير منتهية نكتب عادة \left| G \right| = \infty

رتبة عنصر a من الزمرة G هي أصغر عدد طبيعي n موجب بحيث a^n = e حيث e محايد الزمرة. إذا لم يوجد مثل هذا العدد فإننا نقول أن رتبة a لانهائية. ويستخدم الترميز \left| a \right| أو o(a) للدلالة على رتبة العنصر a.
خواص رتبة عنصر في زمرة

1) من نظرية لاجرانج ينتج بسهولة أن رتبة a تقسم رتبة Ga^{\left| G \right|} = e وبشكل أعم
إذا كانت o(a) = n فإن a^m = e إذا وإذا فقط n|m.

2) إذا كان o(a) = n فإن o(a^m ) = \frac{n}{{(m,n)}}, وذلك لأي عدد صحيح m حيث (m,n) يشير إلى القاسم المشترك الأكبر للعددين m,n.

3) لأي a_1 ,a_2 من زمرة G فإن o(a_1 a_2 ) = o(a_2 a_1 )

4) إذا o(a_1 ) = n_1 ,\;o(a_2 ) = n_2 وكان n_1 ,n_2 أوليان نسبيا وكان a_1 a_2 = a_2 a_1 فإن o(a_1 a_2 ) = n_1 n_2 .

5) إذا كان o(a) = n فإن العناصر a^0 = e,a^1 ,a^2 , \ldots ,a^{n - 1} كلها مختلفة وهي فقط عناصر الزمرة المولدة بالعنصر a, أي أن

\langle a\rangle = \{ e,a^1 ,a^2 , \ldots ,a^{n - 1} \}

6) إذا كان a,b مترافقين, بمعنى أنه يوجد g من G بحث a = gbg^{ - 1} فإن o(a) = o(b).