ميكانيك هاملتوني

ميكانيك هاملتوني

اعتمادا على ميكانيك لاغرانج , تكون معادلات الحركة المستندة علىالاحداثيات المعممة
\left\{\, q_j | j=1,...,N \,\right\}.

و التي تطابق السرعات :
\left\{\, \dot{q}_j | j=1,...,N \,\right\}.

يمكن لنا كتابةالاغرانجي
L(q_j, \dot{q}_j, t),

يهدف ميكانيك الهاميلتوني الى استبدال متغيرات السرعة المعممة بمتغيرات العزم المعممة أو ما يدعى بعزم المزدوجة :

من اجل كل سرعة معممة هناك ما يقابلها من العزم المزدوج الذي يكتب كما يلي :
p_j = {\partial L \over \partial \dot{q}_j}.

في جملة إحداثيات ديكارتية, العزم المعمم هو بالضبط العزم الفيزيائي الخطي . أما في جملة احداثيات قطبية فإن العزم المعمم المقابل للسرعة الزاوية يصبح العزم الزاوي , في جملة احداثية افتراضية توجد صياغات أخرى لإيجاد العزم المعمم .

الهاميلتوني هو عبارة [[]]:
H\left(q_j,p_j,t\right) = \sum_i \dot{q}_i p_i - L(q_j,\dot{q}_j,t).

إذا كانت معادلات التحويل المعرفة للإحداثيات المعممة مستقلة عن الزمن t , فيمكن أن نقول ان الهاميلتوني H مساو للطاقة الكلية E = T + V.

كل طرف من تعريف الهاميلتوني of H ينتج تفاضلا :
\begin{matrix} dH &=& \sum_i \left[ \left({\partial H \over \partial q_i}\right) dq_i + \left({\partial H \over \partial p_i}\right) dp_i \right] + \left({\partial H \over \partial t}\right) dt\qquad\qquad\quad\quad \\ \\ &=& \sum_i \left[ \dot{q}_i\, dp_i + p_i\, d\dot{q}_i - \left({\partial L \over \partial q_i}\right) dq_i - \left({\partial L \over \partial \dot{q}_i}\right) d\dot{q}_i \right] - \left({\partial L \over \partial t}\right) dt. \end{matrix}

باستبدال التعريف السابق للعزم الإزدواجي ضمن المعادلة و مطابقة معاملات المعدلة , نستخرج قوانين الحركة في الميكانيك الهاميلتوني

{\partial H \over \partial q_j} = - \dot{p}_j, \qquad {\partial H \over \partial p_j} = \dot{q}_j, \qquad {\partial H \over \partial t } = - {\partial L \over \partial t}.

معادلات هاميلتون تشكل معادلات تفاضلية من المرتبة الأولى , لذا هي أسهل حلا من معادلات لاغرانج التي تعطي معادلات تفاضلية من المرتبة الثانية. لكن العمليات التي تقود الى معادلات الحركة اكثر صعوبة فبداية علينا البدء من الإحداثيات المعممة و ميكانيك لاغرانج لنقوم بتشكيل الهاميلتوني , ثم علينا تحويل كل قيمة لسرعة معممة الى عزم ازدواجي , لنقوم بعد ذلك باستبدال السرع المعممة في الهاميلتوني بقيم العزم الإزدواجي.